1960 yılında Elazığ’da doğan Alpay, 1985 yılında İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesi’nden mezun oldu. 1986-1988 yıllarında Van Hakimliği görevinde bulunmasının ardından 1991 yılına kadar Ceza ve Hukuk Mahkemelerinde görev yaptı. 1992 yılından itibaren serbest avukat olarak çalıştı. Sivil toplum kuruluşlarında kuruculuk ve yöneticilik görevlerinde bulundu.
24 ve 25’inci dönem Elazığ Milletvekili olarak görev yapan Şuay Alpay, Milletvekilliği dönemlerinde, Anayasa Komisyonu ve Adalet Komisyonu Üyeliği, Türkiye Kamerun Dostluk Grubu Başkanlığı, Türkiye Azerbaycan Dostluk Grubu Başkan Vekilliği, Yasadışı Dinlemeleri Araştırma Hukuk Alt Komisyonu Başkanlığı görevlerini üstlendi. AK Parti Genel Merkez MKYK’ da görev yaptı. Aynı dönemde Yerel Yönetimler Başkan Yardımcılığı görevini yürüttü. 30 Aralık 2015 tarihinde 2015/684 sayılı karar ile Milli Savunma Bakan Yardımcısı olarak atanan Şuay Alpay, görevini halen sürdürmektedir.
2020-2024 yılları arasında Türk Havacılık Uzay Sanayii A.Ş’de Yönetim Kurulu Üyeliği görevinde bulunan Alpay, 11 Haziran 2024 itibarı ile TUSAŞ – Türk Havacılık Uzay Sanayii A.Ş. Yönetim Kurulu Başkan Vekili olarak görevini sürdürmektedir.
Şuay ALPAY evli ve 3 çocuk babasıdır.